Question

如图二次函数y=-mx²+4m图象的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，A，D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的区域内．
（1）求二次函数的解析式．
（2）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=-mx²+4m的顶点坐标为（0，2），
∴4m=2，
即m=，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2；

（2）∵A点在x轴的负方向上坐标为（x，y），四边形ABCD为矩形，BC在x轴上，
∴AD∥x轴，
又因为抛物线关于y轴对称，
所以D、C点关于y轴分别与A、B对称．
所以AD的长为-2x，AB长为y，
所以周长p=2y-4x=2（-x²+2）-4x=-（x+2）²+8．
∵A在抛物线上，且ABCD组成矩形，
∴x＜2，
∵四边形ABCD为矩形，
∴y＞0，
即x＞-2．
所以p=-（x+2）²+8=-x²-4x+4，其中-2＜x＜0．
分析：（1）由顶点坐标（0，2）可直接代入y=-mx²+4m，求得m=，即可求得抛物线的解析式；
（2）由图及四边形ABCD为矩形可知AD∥x轴，长为2x的据对值，AB的长为A点的总坐标，由x与y的关系，可求得p关于自变量x的解析式，因为矩形ABCD在抛物线里面，所以x小于0，大于抛物线与x负半轴的交点．
点评：本题考查了二次函数与几何矩形相结合的应用，比较综合，只要熟练二次函数的性质，数形结合得出是解题关键．