Question

已知：直线y=-2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C为x轴上一点，AC=1，且OC＜OA．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A、B、C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点D的坐标为（-3，0），点P为线段AB上的一点，当锐角∠PDO的正切值是时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，该抛物线上的一点E在x轴下方，当△ADE的面积等与四边形APCE的面积时，求点E的坐标．

Answer 1

解：（1）令y=0，则-2x+4=0，
解得x=2，
令x=0，则y=4，
所以，点A（2，0），B（0，4），
∵AC=1，且OC＜OA，
∴点C的坐标为（1，0），
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A、B、C，
∴，
解得，
∴该抛物线的表达式为y=2x²-6x+4；

（2）∵D的坐标为（-3，0），
∴OD=3，
设PD与y轴的交点为F，
∵∠PDO的正切值是，
∴OF=•OD=×3=，
∴点F的坐标为（0，），
设直线PD的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），
则，
解得，
所以，直线PD的解析式为y=x+，
联立，
解得，
∴点P的坐标为（1，2）；

（3）设点E到x轴的距离为h，
∵A（2，0），（1，0），D（-3，0），
∴AC=1，AD=2-（-3）=5，
∵△ADE的面积等于四边形APCE的面积，
∴×5h=×1h+×1×2，
解得h=，
∵点E在x轴的下方，
∴点E的纵坐标为-，
∴2x²-6x+4=-，
整理得，4x²-12x+9=0，
解得x=，
∴点E的坐标为（，-）．
分析：（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，再求出点C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据点D的坐标求出OD的长，再根据∠PDO的正切值求出PD与y轴的交点F的坐标，然后利用待定系数法求出直线PD的解析式，再与直线y=-2x+4联立求解即可得到点P的坐标；
（3）设点E到x轴的距离为h，根据点A、C、D的坐标求出AC、AD的长，然后根据三角形的面积公式列式计算求出h，从而得到点E的纵坐标，再代入抛物线解析式求出点E的横坐标，即可得解．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，联立两直线解析式求交点坐标的方法，三角形的面积，综合题，但难度不大，作出图形更形象直观．