Question

已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF．
求证：DE=DF．

Answer 1

证明：分别取AC、BC中点M、N，连接MD、ND，再连接EM、FN，
∵D为AB中点，∠AEC=90°，∠BFC=90°，
∴EM=DN=AC，FN=MD=BC，
DN∥CM且DN=CM，
∴四边形MDNC为平行四边形，
∴∠CMD=∠CND．
∵∠EMC=∠FNC=90°，
∴∠EMC+∠CMD=∠FNC+∠CND，
即∠EMD=∠FND，
∴△EMD≌△DNF（SAS）．
∴DE=DF．
分析：分别取AC、BC中点M、N，连接MD、ND，再连接EM、FN，利用在直角三角形中：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和已知条件证明四边形MDNC为平行四边形，再利用平行四边形的性质和已知条件证明△EMD≌△DNF即可．
点评：本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，题目难度中等综合性不小．