Question

9．如图，已知△ABC，分别以AB，AC为边作正方形ABFG和正方形ACDE，连接BE，CG交于点O，联结AO，P、Q、R、T分别是BC、BG、EG、CE的中点．
（1）求证：AO平分∠EOG；
（2）判断四边形PQRT的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥BE于M，AN⊥CG于N，由正方形的性质得出AB=AG，AC=AE，∠BAG=∠CAE=90°，证出∠GAC=∠BAE，由SAS证明△ACG≌△AEB，由全等三角形的性质得出CG=EB，AM=AN，由角平分线的判定方法即可得出结论；
（2）证明PQ、RT分别是△BCG、△ECG的中位线，得出PQ∥CG，PQ=RT=$\frac{1}{2}$CG，同理：PT∥EB，QR=PT=$\frac{1}{2}$EB，得出PQ=RT=QR=PT，证出四边形PQRT是菱形，再由全等三角形的性质和三角形的外角性质得出∠BOC=90°，证出CG⊥EB，得出PQ⊥PT，即可得出四边形PQRT是正方形．

解答 （1）证明：作AM⊥BE于M，AN⊥CG于N，如图所示：
∵四边形ABFG和四边形ACDE是正方形，
∴AB=AG，AC=AE，∠BAG=∠CAE=90°，
∴∠GAC=∠BAE，
在△ACG和△AEB中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AB}&{\;}\\{∠GAC=∠BAE}&{\;}\\{AC=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△AEB（SAS），
∴CG=EB，
∴AM=AN，
∵AM⊥BE于M，AN⊥CG于N，
∴AO平分∠EOG；
（2）解：四边形PQRT是正方形；理由如下：
∵P、Q、R、T分别是BC、BG、EG、CE的中点，
∴PQ、RT分别是△BCG、△ECG的中位线，
∴PQ=$\frac{1}{2}$CG，PQ∥CG，RT=$\frac{1}{2}$CG，
∴PQ=RT=$\frac{1}{2}$CG，
同理：PT∥EB，QR=PT=$\frac{1}{2}$EB，
∵CG=EB，
∴PQ=RT=QR=PT，
∴四边形PQRT是菱形，
∵△ACG≌△AEB，
∴∠AGC=∠ABE，
∵∠BOC=∠BGO+∠OBG=∠AGB+∠ABG=45°+45°=90°，
∴CG⊥EB，
∵PQ∥CG，PT∥EB，
∴PQ⊥PT，
∴∠QPT=90°，
∴四边形PQRT是正方形．

点评 本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、菱形的判定方法；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．