Question

如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，
（1）求证：△ADO∽△EDA；
（2）若正方形的边长为2，求OD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AF⊥DE，
∴∠AOD=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD=90°，
∴∠AOD=∠EAD，
又∵∠ADO=∠EDA，
∴△ADO∽△EDA；

（2）解：∵△ADO∽△EDA，
∴=，
∵正方形ABCD的边长等于2，
∴AE=1，
在Rt△ADE中，DE==，
∴OD=．
分析：（1）由于AF⊥DE，则∠AOD=90°，又四边形ABCD是正方形，则∠EAD=90°，即∠AOD=∠EAD，又∠ADO=∠EDA，那么有△ADO∽△EDA；
（2）由（1）知△ADO∽△EDA，可得比例线段OD：AD=AE：DE，而正方形的边长等于2，则AE=1，DE=，易求OD．
点评：本题利用了相似三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的性质．