Question

【题目】如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.

（1）求证:BE=CD;
（2）连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求ABCD的面积.

Answer 1

【答案】
（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠DAE=∠E.
又∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE.∴∠BAE=∠E.
∴BA=BE=CD.
（2）解:∵∠BEA=60°,BA=BE,
∴△ABE为等边三角形.
∵BF⊥AE,
∴F为AE的中点.
∴AF=EF
在△AFD和△EFC中,

∴△AFD≌△EFC(ASA).
∴△AFD的面积等于△EFC的面积.
∴ABCD的面积等于△ABE的面积.
在△ABE中,AB=AE=4,
∴AF=2.由勾股定理得BF=2 ,
∴△ABE的面积= ×4×2 =4 .
∴ABCD的面积为4
【解析】（1）根据平行四边形的性质证明AD∥BC，BA=CD，再根据键盘侠的定义及平行线的性质证明∠BAE=∠E，根据等角对等边得出AB=BE，从而可证得结论。
（2）根据已知条件∠BEA=60°,BA=BE，可证得△ABE为等边三角形，再根据等边三角形三线合一的性质证明AF=EF，就可证明△AFD≌△EFC，根据全等三角形的面积相等，要求ABCD的面积就转化为求△ABE得面积，然后在△ABE中，利用勾股定理求出BF的长，利用三角形的面积公式就可求出答案。