Question

已知抛物线y=-

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x2+bx+c的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，-

3

2

），若AM∥BC，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析：利用公式法求出抛物线的顶点坐标，再令x=0，求出此时对应的y值，即C的纵坐标，设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为（3b，m）．再利用根与系数的关系求出AE的值，利用射影定理和切线的性质即可求出m的值，进而求出c的值，最后利用相似三角形的性质求出b的值，从而求出抛物线的解析式．

解答：解：∵抛物线y=-

1

6

x2+bx+c中，
a′=-

1

6

，b′=b，c′=c，
∴点P的横坐标为：-

b′

2a′

=3b，纵坐标为：

4a′c′-b′ 2

4a′

=

3

2

b²+c，
∴点P的坐标为(3b，

3

2

b2+c)，
令x=0，则y=c，
∴点C（0，c），
设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为（3b，m）．
显然，x₁，x₂是一元二次方程-

1

6

x2+bx+c=0的两根，
∴x1=3b-

9b2+6c

，x2=3b+

9b2+6c

，
又∵AB的中点E的坐标为（3b，0），
∴AE=

9b2+6c

．
∵PA为⊙D的切线，
∴PA⊥AD，
又∵AE⊥PD，
∴由射影定理可得 AE²=PE•DE，即(

9b2+6c

)2=(

3

2

b2+c)•|m|，又易知m＜0，
∴可得m=-6，
又∵DA=DC得 DA²=DC²，即(

9b2+6c

)2+m2=(3b-0)2+(m-c)2，
把m=-6代入后可解得c=-6（另一解c=0舍去）．
又∵AM∥BC，
∴

OA

OB

=

OM

OC

，即

3b- 9b2+6c

3b+ 9b2+6c

=

|- 3 2 |

|-6|

．…
把c=-6代入，解得b=

5

2

，（另一解b=-

5

2

舍去）．
∴抛物线的解析式为y=-

1

6

x2+

5

2

x-6．

点评：本题综合性的考查了二次函数的各种性质、圆的切线的性质、平行线的性质、射影定理的运用，根与系数的关系以及相似三角形的判定和性质，题目的难度非常大．