Question

如图，已知抛物线y=mx²+nx+p与y=x²+6x+5关于y轴对称，并与y轴交于点M，与x轴交于点A和B．
（1）求出y=mx²+nx+p的解析式，试猜想出一般形式y=ax²+bx+c（a≠0）关于y轴对称的二次函数解析式（不要求证明）；
（2）若AB的中点是C，求sin∠CMB；
（3）如果一次函数y=kx+b（k≠0）过点M，且与抛物线y=mx²+nx+p，相交于另一点N（i，j），如果i≠j，且i²-j²-i+j=0，求k的值．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=mx²+nx+p与y=x²+6x+5关于y轴对称，
∴y=mx²+nx+p的解析式为：y=x²-6x+5；
∴一般形式y=ax²+bx+c（a≠0）关于y轴对称的二次函数解析式：y=a（-x）²+b（-x）+c=ax²-bx+c；

（2）连接BM，作CD⊥BM，垂足为D，
当y=0时，即x²-6x+5=0，
解得：x₁=1，x₂=5，
∴A（1，0），B（5，0），
∵C是AB的中点，
∴C（3，0），
∴AC=BC=2，
当x=0时，y=5，
∴M（0，5），
∴OB=OM=5，
∴△OMB是等腰直角三角形，
∴∠OMB=∠OBM=45°，
∴在Rt△BCD中，CD=BC•sin45°=，
在Rt△OMC中，OM=5，OC=3，
∴MC===，
∴sin∠CMB===；

（3）∵i²-j²-i+j=0，
即（i-j）（i+j）-（i-j）=（i-j）（i+j-1）=0，
∴i-j=0或i+j-1=0，
∵i≠j，
∴j=1-i，
∵N在y=kx+b上，
∴j=ki+b
∵M在y=kx+b上，
∴b=5，
∴j=ki+5，
即1-i=ki+5，
∴k=-1-，
∵N在y=x²-6x+5上，
∴，
解得：或，
∴k=-5或k=-2．
即k的值是-5或-2．
分析：（1）抛物线y=mx²+nx+p与y=x²+6x+5关于y轴对称，知关于y轴对称x变为-x，y轴值不变，所以易得y=x²+6（-x）+5，即对称后的表达式为y=ax²+bx+c，关于y轴对称只要把x变为-x就可以了；
（2）首先连接BM，作CD⊥BM，垂足为D，易求得△OMB是等腰直角三角形，继而求得CD与MC的长，则可求得答案；
（3）首先利用因式分解的知识，可得j=1-i，然后由一次函数y=kx+b（k≠0）过点M，且与抛物线y=mx²+nx+p，相交于另一点N（i，j），利用待定系数法即可求得答案．
点评：此题考查了函数的对称性、待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．