Question

已知在△ABC中，AB=2

3

，AC=2，BC边上的高AD=

3

．
（1）求BC的长；
（2）若有一个正方形的一边在AB上，另外两个顶点分别在AC和BC上，求正方形的面积．

Answer 1

分析：（1）根据题中所给的条件，应分两种情况进行讨论，AD在△ABC内部和外部；
（2）设正方形边长为x，根据平行线比例关系，解得正方形边长，从而求出正方形的面积．

解答：解：根据条件显然有两种情况，如图，
（1）在图（1）中，可求CD=1，∠CAD=30°，
∴∠B=30°，∠C=60°，
∴△ABC是直角三角形，
∴BC=4．
在图（2）中，可求CD=1，∠CAD=30°，∠B=30°，
∴∠BAD=60°，△ABC是等腰三角形，AC平分∠BAD，
BC=AC=2．

（2）在图（3）中，设正方形边长为x，
∵

EG

AC

=

BE

AB

，
∴

x

2

=

2 3 -x

2 3

，
解得x=3-

3

，
∴S_正方形=12-6

3

（当BC=4时），

在图（4）中，当BC=2时，
∵AC=2，
∴△ABC是等腰三角形，此时内接正方形h是△ABC的AB边上的高，
h=

22-( 3 )2

=1，
设正方形边长为x，由△HGC∽△ABC得，

HG

AB

=

hx

h

，即

x

2 3

=

1-x

1

，
解得x=

2 3

2 3 +1

，
∴S_正方形=

156-48 3

121

（当BC=2时）．

点评：本题在求解时应分情况进行讨论，还考查解直角三角形的定义及正方形面积公式，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解．