Question

有一批规格相同的圆棒，每根划分成长度相同的五节，每节用红、黄、蓝三种颜色来涂，问：可以得到多少种着色不同的圆棒？

Answer 1

分析：用1，2，3三个数代表三个颜色，组成5位数，每个5位数代表一种涂法．由1，2，3可组成3⁵=243个不同的五位数，又由于棒的规格相同，均匀分成5节，因此倒转180度看应是一样的，只能算同一种着色．这就是说一个数与它的反序数表示同一种涂法．但是有些数的反序数就是它自身，这样的反序数共有3×3×3=27个，从而还剩下243-27=216个五位数，这些与它的反序数代表同一种着色方法，所以共有216÷2=108种，连同前面的27种，一共有135种不同着色方法．

解答：解：对每根木棒划分为五节，各部分所涂颜色记为1，2，3，
则五部分涂三种颜色，共有3⁵=243种涂法．
而由于棒的规格相同，划分均匀，
所以翻转一个涂了色的棒180°后，可能与另一棒的涂法相同．
同时有些棒涂了色再翻180°后，颜色涂法不变，这些棒有3³种．
所以共有涂法（3⁵-3³）÷2+3³=135（种）．
故答案为：135．

点评：本题考查了排列与组合问题，解题过程中注意翻转一个涂了色的棒180°后，可能与另一棒的涂法相同．同时有些棒涂了色再翻180°后，颜色涂法不变．