Question

两个等腰直角三角形ABC，ADE，如图①摆放（E点在AB上），连BD，取BD的中点P，连PC、PE，则有PC=PE，PC⊥PE．
（1）将△ADE绕点A逆时针方向旋转，使E点落在AC上，如图②，结论是否仍成立？请证明你的判断．如果你经过反复探索，没有找到解决问题的办法，可通过连接AP，延长PE或延长DE，延长AD，延长BC的途径来完成你的证明．
（2）如图③，当△ADE绕点A逆时针方向旋转30°时，连DC，若DC∥AB，求的值．

Answer 1

解：（1）结论仍然成立．理由为：
连接AP，延长PE交AD于点M，
∵△ABC、△ADE均为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=45°，∴∠DAB=90°，
∵P为BD中点，∴PA=PB=PD，
在△APC和△BPC中，
，
∴△APC≌△BPC（SSS），
∴∠ACP=∠BCP=∠ACB=45°，
同理可得△APE≌△DPE，
∴∠APE=∠DPE，∠PAE=∠PDE，
∴∠APE+∠PAE=∠DPE+∠PDE，即∠AEM=∠DEM=∠AED=45°，
∴∠CEP=∠AEM=45°，
∴∠CPE=90°，
∴△CPE为等腰直角三角形，即PC=PE，PC⊥PE；


（2）过D作DF⊥AC，垂足为F，
∵DC∥AB，∴∠DCF=∠CAB=45°，
∴DF=CF，
在Rt△ADF中，∠DAF=30°，
设DF=k，则有AD=2k，AF=k，
∴AC=AF+FC=k+k=（+1）k，
∴==．
分析：（1）结论仍成立，理由如下：在图②上连接AP，延长PE与AD交于点M，由三角形ABC与三角形ADE都为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得∠CAB与∠DAE都为45°，进而得到∠DAB为直角，又P为斜边BD的中点，AP为斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DP=BP=AP，再由AC=BC，且CP为公共边，利用SSS可证明三角形ACP与三角形BCP全等，可得∠ACP=∠BCP，从而得到∠ECP=45°，同理可得三角形DPE与三角形APE全等，可得∠DEP=∠AEP，即∠CEP=∠AEM=45°，可得三角形EPC为等腰直角三角形，得证；
（2）过D作DF垂直于AC，垂足为F，由三角形ABC为等腰三角形且DC与AB平行，根据等腰三角形的性质及两直线平行内错角相等可得∠DCF=45°，可得三角形DCF为等腰直角三角形，得到DF=CF，在直角三角形ADF中，设30°角所对的直角边DF=k，斜边AD=2k，根据勾股定理求得AF=k，由AF+FC表示出AC，即可求出AC与AD的比值．
点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及直角三角形的性质，其中第二、三问根据题意及分析作出合适的辅助线是解题的关键．