Question

如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB=CD．
求证：四边形GFHE是菱形．

Answer 1

分析：首先运用三角形中位线定理可得到EG∥AB，HF∥AB，EH∥CD，GF∥DC，从而在根据平行于同一条直线的两直线平行得到GF∥EH，GE∥FH，可得到四边形GFHE是平行四边形，再运用三角形中位线定理证明邻边相等，从而证明它是菱形．

解答：证明：∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点，
∴EG∥AB，HF∥AB，EH∥CD，GF∥DC，
∴GF∥EH，GE∥FH（平行于同一条直线的两直线平行）；
∴四边形GFHE是平行四边形，
∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AD，BC、BD、AC的中点，
∴EG是△ABD的中位线，GF是△BCD的中位线，
∴GE=

1

2

AB，GF=

1

2

CD，
∵AB=CD，
∴GE=GF，
∴四边形GFHE是菱形．

点评：此题主要考查了三角形中位线定理和菱形的判定方法，题目比较典型，又有综合性，难度不大．