Question

已知x，y，z满足

x+2y-z=15 x-y+2z=6

（1）求170x+170y-28的值；
（2）当x，y，z为何值时，

78

x2+y2+z2

有最大值？并求出此时的最大值．

Answer 1

分析：（1））①×2+②，易得3x+3y=36，从而有x+y=12，把x+y的值整体代入所求代数式中计算即可；
（2）根据所给方程组，易求x=12-y，z=y-3，再把xy的值代入x²+y²+z²中，可得x²+y²+z²=3（y-5）²+78，可知当y=5时，有最小值是78，当x²+y²+z²=有最小值时，

78

x2+y2+z2

有最大值是1．

解答：解：（1）①×2+②，得3x+3y=36，
∴x+y=12，
∴170x+170y-28=170（x+y）-28=170×12-28=2012；

（2）由

x+2y-z=15 x-y+2z=6

得x+y=12，y-z=3，
∴x=12-y，z=y-3，
∴x²+y²+z²=（144-24y+y²）+y²+（y²-6y+9）=3y²-30y+153=3（y-5）²+78≥78，
当x²+y²+z²=78时，

78

x2+y2+z2

有最大值，最大值为

78

78

=1，此时y=5，x=7，z=2．

点评：本题考查了二次函数的最值，解题的关键是解方程，用y的代数式表示x、z，以及整体代入．