在平面直角坐标系中.点A.B的坐标分别为.现同时将点A.B分别向上平移2个单位.再向右平移1个单位.分别得到点A.B的对应点C.D.连接AC.BD．(1)求点C.D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC,(2)在y轴上是否存在一点P.连接PA.PB.使S△PAB=S四边形ABDC?若存在这样一点.求出点P的坐标,若不存在.试说明理由,(3)点P是直线BD上一个动点.连接PC.PO.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

10．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．

（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S_{四边形ABDC}；
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S_△PAB=S_{四边形ABDC}？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）点P是直线BD上一个动点，连接PC、PO，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠OPC与∠PCD、∠POB的数量关系．

分析（1）根据C、D两点在坐标系中的位置即可得出此两点坐标；判断出四边形ABDC是平行四边形，再求出其面积即可；
（2）设点P到AB的距离为h，则S_△PAB=$\frac{1}{2}$×AB×h=2h，由S_△PAB=S_{四边形ABDC}，得2h=8，求出h=4，即可得出点P的坐标；
（3）过点P作PQ∥AB，故可得出CD∥PQ，AB∥PQ，由平形线的性质即可得出结论．

解答解：（1）依题意，得C（0，2），D（4，2），四边形ABDC是平行四边形，
∴S_{四边形ABDC}=AB×OC=4×2=8；
（2）存在．理由如下：
设点P到AB的距离为h，则S_△PAB=$\frac{1}{2}$×AB×h=2h，
∵S_△PAB=S_{四边形ABDC}，
∴2h=8，
解得：h=4，
∴P（0，4）或（0，-4）；
（3）过点P作PQ∥AB，交y轴于点Q，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴CD∥PQ，
①点P在线段BD上，如图1所示：
∵CD∥PQ，AB∥PQ，
∴∠CPQ=∠PCD，∠OPQ=∠POB，
∴∠OPC=∠CPQ+∠OPQ=∠PCD+∠POB
②点P在BD延长线上，且在CD的上方时，
如图2所示：
∵CD∥PQ，AB∥PQ，
∴∠CPQ=∠PCD，∠OPQ=∠POB，
∴∠OPC=∠OPQ-∠CPQ=∠POB-∠PCD；
点P在DB延长线上，且在AB的下方时，
如图3所示：
∵CD∥PQ，AB∥PQ，
∴∠CPQ=∠PCD，∠OPQ=∠POB，
∴∠OPC=∠CPQ-∠OPQ=∠PCD-∠POB．

点评本题是四边形综合题目，考查的是作图-平移变换，平行四边形的性质、坐标与图形性质等知识；熟知图形平移的性质是解答此题的关键．

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