Question

如图，为处理含有某种杂质同的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a，b各为

 

、

 

米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A，B孔的面积忽略不计）．

Answer 1

分析：首先设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=

k

ab

，其中k＞0为比例系数，依题意，即所求的a，b值使y值最小，由题意可得4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），然后求得b的值，根据a+b≥2

ab

的性质，即可求得答案．

解答：解：解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，
则y=

k

ab

，其中k＞0为比例系数．
依题意，即所求的a，b值使y值最小．
根据题设，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
得b=

30-a

2+a

（0＜a＜30）．①
于是y=

k

ab

=

k

30a-a2 2+a

=

k

-a+32- 64 a+2

=

k

34-(a+2+ 64 a+2 )

≥

k

34-2 (a+2)• 64 a+2

=

k

18

，
当a+2=

64

a+2

时取等号，y达到最小值．
这时a=6，a=-10（舍去）．
将a=6代入①式得b=3．
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．

解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大．
由题设知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）．
因为a+2b≥2

2ab

，
所以 2

2

ab

+ab≤30，
当且仅当a=2b时，上式取等号．
由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．
即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18．
所以2b²=18．解得b=3，a=6．
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
故答案为：6，3．

点评：此题考查了几何不等式的应用，考查了利用函数知识求解实际问题的知识．此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意构建函数关系，利用几何不等式的知识求最值．