Question

如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点．已知：A（-2，-6），C（1，-3）
（1）求证：E点在y轴上；
（2）如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程．
（3）如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k（k＞0）个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）可先求出直线AD的解析式和直线BC的解析式，联立两式可求出E点的坐标，即可判断出E是否在y轴上．
（2）根据已知的三点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（3）由于AB∥CD，那么三角形BAD和三角形BCA中BC边上的高都相等，那么这两个三角形的面积就相等，同时减去一个三角形ABE′的面积后可得出三角形BDE′的面积等于三角形AE′C的面积，因此只需求出三角形BE′D的面积即可．在三角形BDE′中，BD的值为3+k，BD边上的高为E′的纵坐标即E点的纵坐标，由此可得出S，k的函数关系式．

解答：（1）证明：由D（1，0），A（-2，-6），
得DA直线方程：y=2x-2①
再由B（-2，0），C（1，-3），
得BC直线方程：y=-x-2②
结合①②得

x=0 y=-2

，
∴E点坐标（0，-2），
即E点在y轴上．

（2）解：设抛物线的方程y=ax²+bx+c（a≠0）过A（-2，-6），C（1，-3），
E（0，-2）三点，得方程组

4a-2b+c=-6 a+b+c=-3 c=-2

解得a=-1，b=0，c=-2，
∴抛物线解析式为y=-x²-2．

（3）解：∵BA∥DC，
∴S_△BCA=S_△BDA
∴S_△AE′C=S_△BDE′=

1

2

BD•E′F=

1

2

（3+k）×2=3+k．
∴S=3+k为所求函数解析式．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点以及图象面积的求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．