精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过 A（0，4），B（4，0），C（-1，0）三点．过点A作垂直于y轴的直线l．在抛物线上有一动点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）是否存在点P，使得以A、P、Q三点构成的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P位于抛物线y=ax²+bx+c的对称轴的右侧．若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．求当点M落在坐标轴上时直线AP的解析式．

解：（1）将A（0，4），B（4，0），C（-1，0）分别代入抛物线y=ax²+bx+c得，
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，函数解析式为y=-x²+3x+4．
（2）P在l下方时，令①△AOC∽△AQP，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
由于y=-x²+3x+4，
则有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得x=0（舍去）或x= $\text{[math]}$ ，此时，y= $\text{[math]}$ ，P点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
②△AOC∽△PQA，
$\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
由于y=-x²+3x+4，
则有 $\text{[math]}$ ，
解得，x=0（舍去）或x=7，P点坐标为（7，-24）．
③P在l上方时，令△AOC∽△PQA，
$\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
∵y=-x²+3x+4，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得，x=0（舍去）或x=-1，P点坐标为（-1，0）．
④△AOC∽△AQP，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
解得，x=0（舍去）或x= $\text{[math]}$ ，P点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
（3）如图（1），若对称点M在y轴，则∠PAQ=45°，

设AP解析式为y=kx+b，则k=1或-1，
当k=1时，把A（0，4）代入得y=x+4，
当k=-1时，把A（0，4）代入得y=-x+4，
此时P在对称轴右侧，符合题意，
∴y=x+4，或y=-x+4，
设点Q（x，4），P（x，-x²+3x+4），则PQ=x²-3x=PM，
∵△AEM∽△MFP．
则有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵ME=OA=4，AM=AQ=x，PM=PQ=x²-3x，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：PF=4x-12，
∴OM=（4x-12）-x=3x-12，
Rt△AOM中，由勾股定理得OM²+OA²=AM²，
∴（3x-12）²+4²=x²，解得x₁=4，x₂=5，均在抛物线对称轴的右侧，
故点P的坐标为（4，0）或（5，-6）．

设一次函数解析式为y=kx+b，
把（0，4）（4，0）分别代入解析式得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
函数解析式为y=-x+4．
把（0，4）（5，-6）分别代入解析式得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
函数解析式为y=-2x+4．
综上所述，函数解析式为y=x+4，y=-x+4，y=-2x+4．
分析：（1）将A（0，4），B（4，0），C（-1，0）分别代入抛物线y=ax²+bx+c，列出方程组，即可求出函数解析式．
（2）当P在l下方时，令△AOC∽△AQP，△AOC∽△PQA，根据相似三角形的性质，列比例式，求出点的坐标；当P在l上方时，令△AOC∽△AQP，△AOC∽△PQA，根据相似三角形的性质，列比例式，求出点的坐标；
（3）画出函数图形，利用三角形相似，求出P点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式．
点评：本题考查了二次函数解析式的求法、二次函数解析式、相似三角形的性质、翻折变换、待定系数法求一次函数解析式等，题目错综复杂，涉及知识面广，旨在考查逻辑思维能力．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点

C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的函数解析式；
（3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）

、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①当x的取值范围满足条件

-2＜x＜0

时，y＜-3；
②若D（m，y₁），E（2，y₂）是抛物线上两点，且y₁＞y₂，求实数m的取值范围；
（3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
（4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学