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    如图，已知∠XOY=90°，正△PAB的顶点P与O点重合，顶点A是射线OX上的一个定点，另一顶点B在∠XOY的内部．
    （1）当顶点P在射线OY上移动到点P1时，连接AP1，请用尺规作图∠XOY内部作出以AP1为边的正三角形（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）；
    （2）设AP1交OB于点C，AB的延长线交B1P1于点D．求证：△ABC∽△AP1D；
    （3）连接BB1，求∠ABB1的度数．

    【答案】分析：（1）分别以A、P1为圆心，AP1长为半径画弧，两弧交于B1点，△AP1B1即为所求；
    （2）欲证△ABC∽△AP1D，必须有两组角相等，∠BAC=∠P1AD为一个公共角，又因为△PAB和△P1AB1都是正三角形，所以有∠ABC=∠AP1D=60°所以△ABC∽△AP1D；
    （3）有（1）（2）可知AO=AB，AP1=AB1，∠PAB=∠P1AB1=60°，所以有∠OAP1=∠BAB1=60°-∠CAB，因此根据边角边公式可证△OAP1≌△BAB1，因此可得∠ABB1=∠AOP1=90°
    解答：解：（1）如图．
    图形正确（1分）痕迹正确（2分）

    （2）证明：∵△PAB和△P1AB1都是正三角形，
    ∴∠ABC=∠AP1D=60°．（1分）
    ∵∠BAC=∠P1AD，
    ∴△ABC∽△AP1D．（2分）

    （3）∵△O（P）AB和△P1AB1都是正三角形，
    ∴AO=AB，AP1=AB1，∠PAB=∠P1AB1=60°．
    ∴∠OAP1=∠BAB1=60°-∠CAB．
    ∴△OAP1≌△BAB1．（3分）
    ∴∠ABB1=∠AOP1=90°．（1分）
    点评：此题主要考查了相似的判定以及等边三角形的一些基本性质．
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    （1）当顶点P在射线OY上移动到点P1时，连接AP1，请用尺规作图∠XOY内部作出以AP1为边的正三角形（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）；
    （2）设AP1交OB于点C，AB的延长线交B1P1于点D．求证：△ABC∽△AP1D；
    （3）连接BB1，求∠ABB1的度数．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知∠xoy=90°，线段AB=10，若点A在oy上滑动，点B随着线段AB在射线o精英家教网x上滑动，（A、B与O不重合），Rt△AOB的内切⊙K分别与OA、OB、AB切于E、F、P．
    （1）在上述变化过程中：Rt△AOB的周长，⊙K的半径，△AOB外接圆半径，这几个量中不会发生变化的是什么？并简要说明理由；
    （2）当AE=4时，求⊙K的半径r；
    （3）当Rt△AOB的面积为S，AE为x，试求：S与x之间的函数关系，并求出S最大时直角边OA的长．

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    （2012•崇左）如图，已知∠XOY=90°，等边三角形PAB的顶点P与O点重合，顶点A是射线OX上的一个定点，另一个顶点B在∠XOY的内部．
    （1）当顶点P在射线OY上移动到点P1时，连接AP1，请用尺规作图；在∠XOY内部作出以AP1为边的等边△AP1B1（要求保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
    （2）设AP1交OB于点C，AB的延长线交B1P1于点D．求证：△ABC∽△AP1D；
    （3）连接BB1，求证：∠ABB1=90°．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知∠XOY=90°，正△PAB的顶点P与O点重合，顶点A是射线OX上的一个定点，另一顶点B在∠XOY的内部。

    (1) 当顶点P在射线OY上移动到点P1时，连结AP1，请用尺规作图∠XOY内部作出以AP1为边的正三角形（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）；

    (2) 设AP1交OB于点C，AB的延长线交B1P1于点D. 求证：△ABC∽△AP1D；

    (3 ) 连结BB1，求∠ABB1的度数. 

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