Question

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90°，BC=CD=6，∠ABE=45°，若AE=5，求CE的长．

Answer 1

解：如图，过点B作BF⊥AD交DA的延长线于F，
∵AD∥BC，∠D=90°，BC=CD，
∴四边形BCDF是正方形，
把△BCE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，
则CE=FG，BE=BG，∠CBE=∠FBG，
∵∠ABE=45°，
∴∠ABG=∠ABF+∠FBG=∠ABF+∠CBE=90°-∠ABE=90°-45°=45°，
∴∠ABE=∠ABG，
在△ABE和△ABG中，
，
∴△ABE≌△ABG（SAS），
∴AE=AG，
∴AF+CE=AF+FG=AG=AE，
设CE=x，则DE=6-x，AF=5-x，
∴AD=6-（5-x）=x+1，
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，
即（x+1）²+（6-x）²=5²，
整理得，x²-5x+6=0，
解得x₁=2，x₂=3，
所以CE的长度是2或3．
分析：过点B作BF⊥AD交DA的延长线于F，可得四边形BCDF是正方形，把△BCE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，根据旋转的性质可得CE=FG，BE=BG，∠CBE=∠FBG，然后求出∠ABG=45°，从而得到∠ABE=∠ABG，再利用“边角边”证明△ABE和△ABG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，然后求出AF+CE=AE，设CE=x，表示出DE，再表示出AF、AD，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理列出方程求解即可得到CE的长度．
点评：本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，旋转的性质，作辅助线构造出正方形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．