Question

15．如图，在?ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，点M、N分别为AE、CF的中点，连接FM、EN，试判断FM和EN的数量关系和位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，证出∠BAE=∠DCF，由ASA证明△BAE≌△DCF，得出AE=CF，∠AEB=∠DFC，证出AE∥CF，由已知得出ME∥FN，ME=FN，证出四边形MENF是平行四边形，即可得出结论∴FM=EN．

解答 解：FM=EN，FM∥EN；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，∠DAE=∠AEB，∠DFC=∠BCF，
∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，
∴∠BAE=∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠BCF=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠DCB，
∴∠BAE=∠DCF，
在△BAE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\\{∠BAE=∠DCF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△DCF（ASA），
∴AE=CF，∠AEB=∠DFC，
∴∠AEB=∠BCF，
∴AE∥CF，
∵点M、N分别为AE、CF的中点，
∴ME∥FN，ME=FN，
∴四边形MENF是平行四边形，
∴FM=EN，FM∥EN．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．