Question

如图，在△ABC中，∠ACB=45°，AD是△ABC的高，在AD上取点E，使得DE=DB，连接CE并延长，交边AB于点F，连接DF．
（1）求证：AB=CE；
（2）求证：BF+EF=

2

FD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据三角形高线的定义求出∠ADB=∠CDE=90°，并判断出△ACD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CED全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE；
（2）在EC上截取EG=BF，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠CED，然后利用“边角边”证明△BDF和△EDG全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=DG，全等三角形对应角相等可得∠BDF=∠EDG，再求出∠FDG=90°，判断出△DFG是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质证明即可．

解答：证明：（1）∵AD是△ABC的高，∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠CDE=90°，△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD，
在△ABD和△CED中，

AD=CD ∠ADB=∠CDE DE=DB

，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴AB=CE；

（2）如图，在EC上截取EG=BF，
∵△ABD≌△CED，
∴∠B=∠CED，
在△BDF和△EDG中，

EG=BF ∠B=∠CED DE=DB

，
∴△BDF≌△EDG（SAS），
∴DF=DG，∠BDF=∠EDG，
∴∠FDG=∠FDE+∠EDG=∠FDE+∠BDF=∠ADB=90°，
∴△DFG是等腰直角三角形，
∴BF+EF=EG+EF=FG=

2

FD，
故BF+EF=

2

FD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于（2）作辅助线构造成全等三角形和等腰直角三角形．