Question

（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE．求证：△BCP≌△DCE；
（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC．点G是FC与BP的交点．
①若CD=2PC时，求证：BP⊥CF；
②若CD=n•PC（n是大于1的实数）时，记△BPF的面积为S₁，△DPE的面积为S₂．求证：S₁=（n+1）S₂．

Answer 1

证明：（1）在△BCP与△DCE中，
，
∴△BCP≌△DCE（SAS）．

（2）①∵CP=CE，∠PCE=90°，
∴∠CPE=45°，
∴∠FPD=∠CPE=45°，
∴∠PFD=45°，
∴FD=DP．
∵CD=2PC，
∴DP=CP，
∴FD=CP．
在△BCP与△CDF中，
，
∴△BCP≌△CDF（SAS）．
∴∠FCD=∠CBP，
∵∠CBP+∠BPC=90°，
∴∠FCD+∠BPC=90°，
∴∠PGC=90°，即BP⊥CF．
②证法一：设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD-CP=n-1．
易知△FDP为等腰直角三角形，
∴FD=DP=n-1．
S₁=S_梯形BCDF-S_△BCP-S_△FDP
=（BC+FD）•CD-BC•CP-FD•DP
=（n+n-1）•n-n×1-（n-1）²
=（n²-1）；
S₂=DP•CE=（n-1）×1=（n-1）．
∵n²-1=（n+1）（n-1），
∴S₁=（n+1）S₂．
证法二：
∵AD∥BE，
∴△FDP∽△ECP，
∴=，
∴S₁=S_△BEF．
如下图所示，连接BD．

∵BC：CE=CD：CP=n，
∴S_△DCE=S_△BED，
∵DP：CP=n-1，
∴S₂=S_△DCE，
∴S₂=S_△BED．
∵AD∥BE，∴S_△BEF=S_△BED，
∴S₁=（n+1）S₂．
分析：（1）利用SAS，证明△BCP≌△DCE；
（2）在（1）的基础上，再证明△BCP≌△CDF，进而得到∠FCD+∠BPC=90°，从而证明BP⊥CF；
（3）设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CD-CP=n-1，分别求出S₁与S₂的值，得S₁=（n²-1），S₂=（n-1），所以S₁=（n+1）S₂结论成立．
点评：本题是几何综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、图形的面积等知识点，试题的难度不大．