Question

（2013•苍梧县一模）如图，抛物线y=-

3

8

x2-

3

4

x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）在过点E（4，0）的真线上是否存在这样的点M，使得∠AMB为直角？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标；
（2）求出点C的坐标，然后求出AB的长，再根据三角形的面积公式求出△ABC的面积，再求出直线AC的解析式，根据抛物线的解析式求出对称轴，设对称轴与直线AC相交于H，根据S_△ACD=S_△ADH+S_△CDH，列式求出DH的长，再分点D在AC的上方与下方两种情况讨论求出点D的坐标即可；
（3）根据直径所对的圆周角是直角，以AB为直径作⊙F，过点E的直线与⊙F的切点即为所求的点M，连接FM，过点M作MN⊥x轴于N，先求出EF、FN再根据勾股定理列式求出ME，然后根据△FMN和△FEM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出MN、FN，再求出ON，再分点M在x轴上方与下方两种情况写出点M的坐标．

解答：解：（1）令y=0，则-

3

8

x²-

3

4

x+3=0，
整理得，x²+2x-8=0，
解得x₁=-4，x₂=2，
∴点A（-4，0），B（2，0）；

（2）令x=0，则y=3，
所以，点C的坐标为（0，3），
又∵AB=2-（-4）=2+4=6，
∴S_△ABC=

1

2

×6×3=9，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-4k+b=0 b=3

，
解得

k= 3 4 b=3

，
所以，直线AC的解析式为y=

3

4

x+3，
抛物线的对称轴为直线x=-

- 3 4

2×(- 3 8 )

=-1，
所以，x=-1时，y=（-1）×

3

4

+3=

9

4

，
设对称轴与直线AC相交于H，
则点H的坐标为（-1，

9

4

），
∵△ACD的面积等于△ACB的面积，
∴S_△ACD=S_△ADH+S_△CDH，
=

1

2

DH×4=9，
解得DH=

9

4

，
点D在AC的上方时，

9

4

+

9

4

=

9

2

，
此时点D的坐标为（-1，

9

2

），
点D在AC的下方时，

9

4

-

9

2

=-

9

4

，
此时，点D的坐标为（-1，-

9

4

），
综上所述，△ACD的面积等于△ACB的面积时，点D的坐标为（-1，

27

4

）或（-1，-

9

4

）；

（3）根据直径所对的圆周角是直角，以AB为直径作⊙F，
则过点E的直线与⊙F的切点即为所求的点M，
如图，连接FM，过点M作MN⊥x轴于N，
∵A（-4，0），B（2，0），E（4，0），
∴点F（-1，0），
FM=

1

2

×6=3，EF=4+1=5，
根据勾股定理，ME=

EF2-FM2

=

52-32

=4，
易得△FMN∽△FEM，
∴

MN

ME

=

FN

FM

=

FM

EF

，
即

MN

4

=

FN

3

=

3

5

，
解得MN=

12

5

，FN=

9

5

，
∴ON=FN-OF=

9

5

-1=

4

5

，
∴点M在x轴上方时，点M的坐标为（

4

5

，

12

5

），
点M在x轴下方时，点M的坐标为（

4

5

，-

12

5

），
综上所述，点M的坐标为（

4

5

，

12

5

）或（

4

5

，-

12

5

）．

点评：本题考查了关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运用．难点在于第（3）问中对于∠AMB为直角的理解，这可以从直线与圆的位置关系方面入手解决．本题难度较大，需要同学们对所学知识融会贯通、灵活运用．