Question

19．观察下列运算
①由（$\sqrt{2}+1$）（$\sqrt{2}-1$）=1，得$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}-1$；
②由（$\sqrt{3}+\sqrt{2}$）（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）=1，得$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
③由（$\sqrt{4}$$+\sqrt{3}$）（$\sqrt{4}$$-\sqrt{3}$）=1，得$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{4}$$-\sqrt{3}$；
④由（$\sqrt{5}$$+\sqrt{4}$）（$\sqrt{5}$$-\sqrt{4}$）=1，得$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$=$\sqrt{5}$$-\sqrt{4}$；
…
（1）通过观察，将你发现的规律用含有n的式子表示出来．
（2）利用你发现的规律，计算：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$$+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$$+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$$+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2016}}$．

Answer 1

分析 （1）原式仿照阅读材料中的方法：结果与分母只差一个符号，根据此规律求出值即可；
（2）原式第一个括号中仿照阅读材料中的方法变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$（n为正整数）；
（2）原式=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+（$\sqrt{4}-\sqrt{3}$）+…+（$\sqrt{2017}-\sqrt{2016}$），
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2017}-\sqrt{2016}$，
=$\sqrt{2017}$-1．

点评 此题考查了分母有理化，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．