Question

如图，等圆⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，⊙O₁经过⊙O₂的圆心O₂，点A在x轴的正半轴上，两圆分别与x轴交于C、D两点，y轴与⊙O₂相切于点O₁，点O₁在y轴的负半轴上．
①四边形AO₁BO₂为菱形；
②点D的横坐标是点O₂的横坐标的两倍；
③∠ADB=60°；
④△BCD的外接圆的圆心是线段O₁O₂的中点．
以上结论正确的是

 

．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：①连接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂根据菱形的判定定理即可得出结论；
②根据垂径定理即可得出结论；
③连接O₁O₂，AB，BD，根据三角形中位线定理即可得出结论；
④先判断出△BCD是等边三角形，再根据等边三角形外心的性质即可得出结论．

解答：解：①如图1所示，连接AO₁，AO₂，BO₁，BO₂，
∵圆⊙O₁与⊙O₂是等圆，
∴AO₁=AO₂=BO₁=BO₂，
∴四边形AO₁BO₂为菱形，故①正确；

②∵AD是⊙O₂的弦，
∴O₂在线段AD的垂直平分线上，
∴点D的横坐标不是点O₂的横坐标的两倍，故②错误；

③连接O₁O₂，AB，BD，
∵y轴是⊙O₂的切线，
∴O₁O₂⊥y轴，
∵AD∥O₁O₂．
∵四边形AO₁BO₂为菱形，
∴AB⊥O₁O₂，O₁E=O₂E，
∴∠BAD=90°，
∴BD过点O₂，
∴O₂E是△ABD的中位线，
∴AD=O₁O₂=

1

2

BD，
∴∠ADB=60°，故③正确；

④∵由③知，2AD=BD，
∴CD=BD=BC，
∴△BCD的外心是各边线段垂直平分线的交点，
∵O₁O₂的中点是△BCD中位线的中点，
∴△BCD的外接圆的圆心不是线段O₁O₂的中点，故④错误．
故答案为：①③．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到切线的性质、菱形的判定定理及直角三角形的性质，难度适中．