Question

如图，A、B、C三点在同一直线上，△ABM和△BCN是正三角形，P是AN中点，Q是CM中点．求证：△BPQ是正三角形．

Answer 1

证明：∵△ABM和△BCN是正三角形，
∴AB=MB，∠ABM=∠CBN=60°，
∴∠ABN=∠MBC，
在△ABN和△MBC中，，
∴△ABN≌△MBC（SAS），
∴∠ANB=∠MCB，AN=CM，
∵P是AN中点，Q是CM中点，
∴NP=CQ，
在△BNP和△BCQ中，，
∴△BNP≌△BCQ（SAS），
∴PB=QB，∠PBN=∠CBQ，
∴∠PBN+∠NBQ=∠CBQ+∠NBQ=∠CBN=60°，
∴△BPQ是正三角形．
分析：根据等边三角形的三条边都相等可得AB=MB，BC=BN，每一个角都是60°可得∠ABM=∠CBN=60°，再根据等角的补角相等可得∠ABN=∠MBC，然后利用“边角边”证明△ABN和△MBC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ANB=∠MCB，全等三角形对应边相等可得AN=CM，再根据中点定义求出NP=CQ，然后利用“边角边”证明△BNP和△BCQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PB=QB，根据全等三角形对应角相等可得∠PBN=∠CBQ，然后求出∠PBQ=60°，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可．
点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，图形比较复杂，难点在于两次证明三角形全等．