Question

⊙O的半径为1，以O为原点建立直角坐标系，正方形ABCD的顶点B的坐标为（5，0），点D在⊙O上运动，当CD与圆相切时，直线OD的解析式为________．

Answer 1

y=-或y=-x
分析：分两种情况：①D₁点在第二象限时；②D₂点在第四象限时；再根据相似三角形的性质，可得比例关系式，代入数据可得CD所在直线对应的函数关系．
解答：解：直线CD与⊙O相切分两种情况：
①如图1，设D₁点在第二象限时，
过D₁作D₁E₁⊥x轴于点E₁，设此时的正方形的边长为a，
∴（a-1）²+a²=5²，
∴a=4或a=-3（舍去），
∵Rt△BOA∽Rt△D₁OE₁
∴==，
∴OE₁=，D₁E₁=，
∴D₁（-，），
代入y=kx，
=-k，
∴k=-，
∴直线OD的函数关系式为y=-x，
②如图2，设D₂点在第四象限时，过D₂作D₂E₂⊥x轴于点E₂，
设此时的正方形的边长为b，则（b+1）²+b²=5²，
解得b=3或b=-4（舍去）．
∵Rt△BOA∽Rt△D₂OE₂，
∴==，
∴OE₂=，D₂E₂=，
∴D₂（，-），
代入y=ax，
-=a，
∴k=-，
∴直线OD的函数关系式为y=-x，
故答案为：y=-或y=-x．
点评：此题主要考查了一次函数的综合应用，本题难度较大，要求学生有较强的综合分析能力及数形结合分析解决问题的能力．