Question

设p为素数，k是正整数．求证：方程x²+px+kp-1=0至少有一个整数根的充分必要条件是k=1．

Answer 1

分析：运用根与系数的关系，得出p与方程根的关系，利用整除性得出方程x²+px+kp-1=0至少有一个整数根的充分必要条件是k=1．

解答：解：充分性，若k=1，则方程有两个整数根，x₁=1，x₂=p-1；
必要性，设方程x²+px+kp-1=0有整数解x₁和另一根x₂，由根与系数的关系得：
x₁+x₂=-p，x₁x₂=kp-1．①
由①知x₂也是整数根，假设k＞1，
（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=（k-1）p，②
因为p为素数，k-1＞0，由②得：p/x₁+1，或p/x₂+1，
不妨设p/x₁+1，则有

x1+1=±mp x2+ 1=± k-1 m

其中m为正整数，且m整除k-1
由上式相加得：x₁+x₂+2=±（mp+

k-1

m

）．
由①得：-p+2=±（mp+

k-1

m

）③
若③中右边取正号，则有
（m+1）p+

k-1

m

=2，
显然，此式左边大于2，矛盾，若③中右边取负号，则有
（m-1）p+2+

k-1

m

=0
此式左边大于0，矛盾．
因此，k=1．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和素数以及方程整数根的性质，综合性较强．