Question

如图：设矩形ABCD的面积是36cm²，在边AB、AD上分别取点E、F，使AE=3EB，DF=2AF，DE与CF的交点为P，则△FPD的面积是________．

Answer 1

4
分析：延长DE，CB交于点M，构建相似三角形△ADE∽△BME、△FPD∽△CPM，然后根据相似三角形的对应边成比例求得AD=3MB、PC=2PF；作PN⊥AD于点N，构建△DPF的高线和平行线PN∥DC，利用平行线截线段成比例求得3PN=CD，∴PN=CD，DF=AD，然后根据三角形的面积公式解答．
解答：延长DE，CB交于点M，作PN⊥AD于点N．
在△ADE和△BME中，
，
∴△ADE∽△BME（AA）；
又AE=3EB（已知），
∴=（相似三角形的对应边成比例）；
∵DF=2AF，
∴设MB=x，则AD=BC=3x，DF=2x；
在△FPD和△CPM中，
，
∴△FPD∽△CPM，
则=；
而PN∥CD，
则=，
∴PN=CD，DF=AD，
∴PN•DF=AD•CD=×36=8
∴三角形PDF的面积=DF×PD=×8=4；
故答案是：4．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质．解答本题的关键是通过作辅助线“延长DE，CB交于点M”构建相似三角形，然后由相似三角形的性质来求所求△PFD的面积与矩形的面积之间的数量关系．