Question

如图，在直角坐标系中，以AB为直径的⊙C交x轴于A，交y轴于B，满足OA：OB=4：3，以OC为直径作⊙D，设⊙D的半径为2．
（1）求⊙C的圆心坐标；
（2）过C作⊙D的切线EF交x轴于E，交y轴于F，求直线EF的解析式；
（3）抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴过C点，顶点在⊙C上，与y轴交点为B，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）⊙C以AB为直径，则C为Rt△OAB中斜边AB的中点，易知OC=4，那么AB=2OC=8；由OA、OB的比例关系，易知∠BAO的正切值，通过解直角三角形即可求得OB、OA的长，进而可求出A、B的坐标，也就能得到C点的坐标（若过C分别作OA、OB的垂线，由垂径定理即可求得C点的坐标）；
（2）由（1）知OC是Rt△OAB斜边AB的中线，则BC=OC=AC，可得到∠BOC=∠CBO，∠COA=∠CAO；由此可证得Rt△AOB、Rt△OCE、Rt△FCO都相似，根据OC的长和相似三角形的比例线段即可求得OE、OF的长，也就得到了E、F的坐标，进而可用待定系数法求出直线EF的解析式；
（3）抛物线的对称轴过C点，且顶点在⊙C上，根据⊙C的半径及C点坐标，易求得抛物线的顶点坐标，又已知了B点的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式．（注意要分两种情况：①抛物线开口向上，②抛物线开口向下）

解答：解：（1）∵OA⊥OB，OA：OB=4：3，⊙D的半径为2
∴⊙C过原点，OC=4，AB=8
A点坐标为（

32

5

，0）B点坐标为（0，

24

5

）
∴⊙C的圆心C的坐标为（

16

5

，

12

5

）（3分）

（2）由EF是⊙D的切线，
∴OC⊥EF
∵CO=CA=CB
∴∠COA=∠CAO，∠COB=∠CBO
∴Rt△AOB∽Rt△OCE∽Rt△FCO
∴

OE

AB

=

OC

OA

，

OF

AB

=

OC

OB

∴OE=5，OF=

20

3

∴E点坐标为（5，0），F点坐标（0，

20

3

）
∴切线EF的解析式为y=-

4

3

x+

20

3

；（7分）

（3）①当抛物线开口向下时，由题意，得
抛物线顶点坐标为（

16

5

，

12

5

+4），
可得：-

b

2a

=

16

5

，

4ac-b2

4a

=

32

5

，c=

24

5

∴a=-

5

32

，b=1，c=

24

5

，
∴y=-

5

32

x²+x+

24

5

；（10分）
②当抛物线开口向上时，
顶点坐标为（

16

5

，

12

5

-4），
可得：-

b

2a

=

16

5

，

4ac-b2

4a

=-

8

5

，c=

24

5

，
∴y=

5

8

x²-4x+

24

5

；
综上所述，抛物线解析式为：
y=-

5

32

x²+x+

24

5

或y=

5

8

x²-4x+

24

5

．（12分）
注：其他解法参照以上评分标准评分

点评：此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、一次函数及二次函数解析式的确定等知识，综合性强，难度较大．