Question

（2009•永春县质检）如图在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC=6，对角线OB所在直线的函数解析式为．
（1）直接写出C点的坐标；
（2）若D是BC边上的点，过D作DE⊥OB于E，已知DE=3.6．
①求出CD的长；
②以点C为圆心，CD长为半径作⊙C、试问在对角线OB上是否存在点P，使得以点P为圆心的⊙P与⊙C、x轴都相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，点C在y轴上且OC=6，故点C的坐标为（0，6）；
（2）①依题意可得∠OCB=90°，利用勾股定理求出OB的值，然后证明△COB∽△EDB，利用线段比求出CD的长；
②过P作PM⊥OA于M、PN⊥OC于N，设点P横坐标为m，得出OM=NP=m，ON=MP=，CN=．当⊙P与⊙C外切、与x轴相切时，PC=+2，然后利用勾股定理列等式解出m值．当⊙P与⊙C内切、与x轴相切时，m²-6m+32=0得出△=6²-4×1×32＜0所以此一元二次方程没有实数解．选出符合条件的点P坐标即可．
解答：解：（1）C（0，6）；

（2）①在矩形OABC中，∠OCB=90°，
∵OA=BC=8；
∴，
在△COB和△EDB中，∠CBO=∠EBD，∠OCB=90°=∠DEB，
∴△COB∽△EDB，
∴，
CD=2；
②如图，过P作PM⊥OA于M、PN⊥OC于N，设点P横坐标为m，
∵点P在直线上，
∴OM=NP=m，ON=MP=，
CN=，
当⊙P与⊙C外切、与x轴相切时，PC=+2，
在Rt△PCN中，PN²+CN²=PC²，
∴m²-12m+32=0，
解得m₁=4，m₂=8，
∴P₁（4，3），P₂（8，6），
同理，当⊙P与⊙C内切、与x轴相切时，m²-6m+32=0，
∵△=6²-4×1×32＜0，
∴此一元二次方程没有实数解，
使⊙P与⊙C内切、与x轴相切的点P不存在．
∴符合条件的点P是P₁（4，3），P₂（8，6）．
点评：本题综合考查的是一次函数与圆相结合的运用，难度较大．