Question

如图，D为△ABC的边BC上一点，P为线段AD上一点，若△APB的面积为9，△CPD的面积为16，则△ABC面积的最小值是________．

Answer 1

49
分析：首先设S_△APC=a，S_△BPD=b，由于S_△APB：S_△BPD=S_△APC：S_△CPD，由此得到9：b=a：16，所以ab=144，又设S_△ABC=S，则a+b=S-（9+16），然后即可得到a、b是方程x²-（s-25）x+144=0的两个根，然后根据判别式即可得到关于S的不等式，解不等式即可解决问题．
解答：设S_△APC=a，S_△BPD=b，
∵S_△APB：S_△BPD=S_△APC：S_△CPD，
∴9：b=a：16，
∴ab=144，
又设S_△ABC=S，
则a+b=S-（9+16），
∴a、b是方程x²-（S-25）x+144=0的两个根，
∴△=（S-25）²-4×144≥0，
∴S≤1或S≥49，
而S＞25，
∴S的最大值为49．
点评：此题主要考查了三角形的面积公式和一元二次方程的判别式，解题时首先根据面积公式得到关于S_△ABC的一元二次方程，然后利用方程的判别式即可解决问题．此题比较难，对于学生分析问题、解决问题的能力要求比较高．