Question

如图，梯形AEFD中，EF∥AD，∠F=90°，以AE为直径的⊙O交FD于B、C，若AD=3，BC=4，CD=1，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,梯形中位线定理

专题：

分析：过点O作OM⊥BC，连结AB、BE、OB，先根据垂径定理得出CM的长，故可得出DM的长，再求出△ADB∽△BFE，由相似三角形的性质得出FE的长，由梯形中位线定理得出OM的长，根据勾股定理即可得出结论．

解答：解：过点O作OM⊥BC，连结AB、BE、OB．
∵EF∥AD，点O是AE的中点，
∴FM=DM，BM=CM=2，
∴DM=2+1=3，即FM=3，BF=1．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，即∠FBE+∠DBA=90°．
∵∠F=90°，即FBE+∠BEF=90°，
∴∠ABD=∠BEF．
又∵∠F=∠D，
∴△ADB∽△BFE，
∴

AD

BF

=

DB

EF

，即

3

1

=

5

EF

，解得FE=

5

3

．
∵OM是梯形的中位线，
∴OM=

1

2

（EF+AD）=

7

3

．
在Rt△OBM中OB²=OM²+BM²=（

7

3

）²+2²=

85

9

，解得OB=

2 85

3

，即⊙O的直径为

2 85

3

．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．