Question

方程x²+2ax+a-4=0恒有相异两实根，若方程x²+2ax+k=0也有相异两实根，且其两根介于上面方程的两根之间，则k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由方程x²+2ax+a-4=0恒有相异两实根，则△＞0，而△=4a²-4（a-4）=4（a²-a+4）=4[（a-

1

2

）²+

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4

]，得a为任意实数，由方程x²+2ax+k=0也有相异两实根，△′=4a²-4k＞0，即k＜a²；并且它的两根介于上面方程的两根之间，可利用二次函数的图象继续求k的范围．

解答：解：∵方程x²+2ax+a-4=0恒有相异两实根，
∴△＞0，而△=4a²-4（a-4）=4（a²-a+4）=4[（a-

1

2

）²+

15

4

]，
又∵方程x²+2ax+k=0有相异两实根，
∴△′=4a²-4k＞0，即k＜a²；
对于二次函数y₁=x²+2ax+a-4，y₂=x²+2ax+k，它们的对称轴相同，且与x轴都有两个不同得交点，要让y₂与x轴两个交点都在y₁与x轴两个交点之间，则要满足y₂与y轴的交点在y₁与y轴的交点上方，如图，

则有k＞a-4，
所以k的取值范围是 a-4＜k＜a²．
故答案为a-4＜k＜a²．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了运用二次函数图象解决不等式的问题．