Question

如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边BD、AC的中点．
（1）求证：MN⊥AC；
（2）当AC=8cm，BD=10cm时，求MN的长．

Answer 1

（1）证明：连接AM、MC．
在△DCB和△BAD中，∠DAB=∠DCB=90°，M是边BD的中点，
∴AM=MC=BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；
∵N是AC的中点，
∴MN⊥AC；

（2）解：∵AC=8cm，BD=10cm，M、N分别是边BD、AC的中点．
∴AM=5cm，AN=4cm；
在Rt△AMN中，MN==3cm（勾股定理）．
分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半判定AM=MC=BD，从而推知N点是AC边上的中点，所以MN是AC的中垂线；
（2）在Rt△AMN中，利用勾股定理求得MN的长．
点评：本题综合考查了直角三角形斜边上的中线、勾股定理．解题时，通过作辅助线AM、MC构建了直角三角形斜边上的中线，然后利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”来解答问题．