Question

13．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点M在BC上，BM=CM，作MD⊥AC于D，MG⊥AB于G，GF⊥AC于F，DE⊥AB于E，GF、DE交于点H．求证：四边形MDHG为菱形．

Answer 1

分析 先证明四边形MDHG是平行四边形，再由AAS证明△BGM≡△CDM，得出对应边相等GM=DM，即可得出四边形MDHG为菱形．

解答 证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵MD⊥AC，MG⊥AB，GF⊥AC，DE⊥AB，
∴MD∥GF，MG∥DE，∠BGM=∠CDM=90°，
∴四边形MDHG是平行四边形，
在△BGM和△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}&{\;}\\{∠BGM=∠CDG}&{\;}\\{BM=CM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BGM≡△CDM（AAS），
∴GM=DM，
∴四边形MDHG为菱形．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．