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    15．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2，宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF，现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α．
    （1）当边CD′恰好经过EF的中点H时，求旋转角α的大小；
    （2）如图2，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D；
    （3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△BCD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的大小；若不能，说明理由．

    分析 （1）根据旋转的性质得CE=CH=1，即可得出结论；
    （2）由G为BC中点可得CG=CE，根据旋转的性质得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′CE，则∠GCD′=∠DCE′=90°+α，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD，则GD′=E′D；
    （3）根据正方形的性质得CB=CD，而CD=CD′，则△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，可计算出α=135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，可计算得到α=315°．

    解答 （1）解：
    ∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
    ∴CE=CH=1，
    ∴△CEH为等腰直角三角形，∴∠ECH=45°，∴∠α=30°；

    （2）证明：∵G为BC中点，
    ∴CG=1，
    ∴CG=CE，
    ∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
    ∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，
    ∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
    在△GCD′和△E′CD中$\left\{\begin{array}{l}{CD'=CD}\\{∠GCD=DCE'}\\{CG=CE'}\end{array}\right.$，
    ∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
    ∴GD′=E′D；

    （3）解：能．
    理由如下：
    ∵四边形ABCD为正方形，
    ∴CB=CD，
    ∵CD′=CD′，
    ∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，
    当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，
    当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α=$\frac{360°-90°}{2}$=135°，
    当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′=∠DCD′=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°
    则α=360°-$\frac{90°}{2}$=315°，
    即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等

    点评 此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质．

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    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    5．如图1，长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且$\sqrt{AB-4}$+|BC-6|=0，点P、Q分别是边AD、AB上的动点．
    （1）求BD的长；
    （2）如图2，在P、Q运动中是否能使△CPQ成为等腰直角三角形？若能，请求出PA的长；若不能，请说明理由；
    （3）如图3，在BC上取一点E，使EC=5，那么当△EPC为等腰三角形时，请直接写出PA的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    6．如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交于点A（-2，0），
    B（4，0）与y轴交于点C．
    （Ⅰ）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
    （Ⅱ）求△BCD的面积；
    （Ⅲ）若直线CD交x轴与点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD与点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度（直接写出结果，不写求解过程）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    3．如图，抛物线y=ax2-2ax-3a交x轴于点A、B（A左B右），交y轴于点C，S△ABC=6，点P为第一象限内抛物线上的一点．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若∠PCB=45°，求点P的坐标；
    （3）点Q为第四象限内抛物线上一点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，连接PC、AQ，当PC=$\frac{5}{9}$AQ时，求点P的坐标以及△PCQ的面积．

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    10．一个口袋中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有140次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为14个．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    20．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．
    （1）当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证MN=BM+DN．
    （2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
    （3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，以坐标平面内任意一点M（a，b）为圆心，半径为r作圆，点P（x，y）在⊙M上，则必有（x-a）2+（y-b）2=r2．
    尝试证明：为了证明阅读材料上的结论，小明作了辅助线：过点M和点P分别作x轴、y轴的平行线，两平行线交于点N可得点N的坐标是（x，b）（用字母表示），完成小明的证明过程．
    结论应用：如图2，点A、B、C均在坐标轴上，OB=OC=OA=4，过A、O、B作⊙D，E是⊙D上任意一点，连接CE，BE．
    （1）当线段CE经过点D时，求点E的坐标；
    （2）在点E的运动过程中，线段CE和线段BE的长度随之变化，试求CE2+BE2的最大值和最小值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    4．如图，在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为A（4，0）、B（0，2），将△ABO绕点P（2，2）顺时针旋转得到△OCD，点A、B和O的对应点分别为点O、C和D
    （1）画出△OCD，并写出点C和点D的坐标
    （2）连接AC，在直线AC的右侧取点M，使∠AMC=45°
    ①若点M在x轴上，则点M的坐标为（6，0）．
    ②若△ACM为直角三角形，求点M的坐标
    （3）若点N满足∠ANC＞45°，请确定点N的位置（不要求说明理由）

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    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    5．如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（　　）
    A．9cmB．12cmC．15cmD．15cm或12cm

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