Question

如图，在△ABC中，AD=BD，动点E在AB上，
（1）当E点运动后，使∠BDE=∠C时，求证：

BE

AE

=

AD

DC

（2）当E点运动后，使∠BDE=∠DAC时，求证：

BE

AE

=

DC

AD

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用平行线分线段可得到

BE

AE

=

BD

CD

，结合条件可证明结论；
（2）可先证△BAD∽△BCA，可得∠BAD=∠B=∠C，结合条件可证明△BDE∽△CAD，可得结论．

解答：证明：（1）∵∠BDE=∠C，
∴DE∥AC，
∴

BE

AE

=

BD

CD

，
∵BD=AD，
∴

BE

AE

=

AD

DC

；
（2）∵DA=DB
∴∠ABD=∠B，且∠B为公共角，
∴△BAD∽△BCA，
∴∠ABD=∠C，
∴∠B=∠C，且∠BDE=∠DAC，
∴△BDE∽△CAD，
∴

BE

CD

=

DE

AD

，∠BED=∠ADC，
∴∠B+∠BDE=∠ADE+∠BED，
∴∠B=∠EDA=∠DAE，
∴DE=AE，
∴

BE

CD

=

AE

AD

，
∴

BE

AE

=

CD

AD

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等、对应边成比例是解题的关键，注意利用相似可证明角相等．