Question

11．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：AP=PD；
（2）若⊙O的半径为5，AF=7，求$\frac{AD}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得出∠DAC=∠CBD，以及∠CBD=∠DBA可得出∠DAC=∠DBA，再由直角三角形的性质即可得出答案；
（2）证明△FDA∽△ADB，利用对应边成比例，可得出答案．

解答 （1）证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA，
∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，
∴∠ADE=∠DBA，
∴∠DAC=∠ADE，
∴PA=PD；

（2）∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA=90°，
∴△FDA∽△ADB
∴$\frac{AD}{DB}$=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{7}{10}$．

点评 本题考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，根据证明PD=PA以及PD=PF得出答案是解决问题的关键．