Question

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax²＋bx＋c，

∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。

又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。

∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x²＋2x＋3。

（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P。 则此时的点P，使△PAC的周长最小。

 

 

设直线BC的解析式为y＝kx＋b，

将B(3，0)，C(0，3)代入，得：

，解得：。

∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3。

当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)。

（3）存在。点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。

【解析】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质。

【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。

 （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点。

（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解：

∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)。

∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA²＝m²＋4，MC²＝m²－6m＋10，AC²＝10。

①若MA＝MC，则MA²＝MC²，得：m²＋4＝m²－6m＋10，得：m＝1。

②若MA＝AC，则MA²＝AC²，得：m²＋4＝10，得：m＝±。

③若MC＝AC，则MC²＝AC²，得：m²－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，

当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。

综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。