Question

如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，BD平分∠ABC，点E为BC中点，EF⊥BC，DF=DC，DF交BC于点G，若EG=1，BE=9，则AD=________．

Answer 1

7
分析：延长FE交AD于M，过D作DN⊥BC于N，延长BA、CD交于O，求出FM⊥AD，AM=DM，设AB=AD=DC=DF=x，则DM=x，求出∠F=30°，求出GN=DG=（x-2），由勾股定理求出DN=（x-2），由勾股定理得出DC²=DN²-CN²，代入得出方程[（x-2）]²+[8-（x-2）]²=x²，求出方程的解即可．
解答：
解：延长FE交AD于M，过D作DN⊥BC于N，延长BA、CD交于O，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，
∴OB=OC，∠OAD=∠ODA，
∴OA=OB，
即O在AD的垂直平分线上，O也在BC的垂直平分线上，
∵E为BC中点，EF⊥BC，
∴FM是BC的垂直平分线，
∴FM⊥AD，AM=DM，
设AB=AD=DC=DF=x，
则DM=x，
∵∠FMD=90°，DM=DF，
∴∠F=30°，
∵∠FEG=90°，EG=1，
∴FG=2，
∴DG=x-2，
∵DN⊥BC，
∴∠DNC=∠DNG=90°，
∵E为BC中点，
∴BE=CE=9，
∴CG=9-1=8，
∵DN⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥DN，
∴∠NDG=∠F=30°，
∴GN=DG=（x-2），
由勾股定理得：DN=（x-2），
由勾股定理得：DC²=DN²-CN²，
即[（x-2）]²+[8-（x-2）]²=x²
解得：x=7，
即AD=7．
故答案为：7．
点评：本题考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理的应用，题目综合性比较强，难度偏大．