Question

已知一个三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为10，∠B、∠C都为锐角，M为AB边上的一动点（M与A、B不重合），过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN=x．
（1）用x表示△AMN的面积；
（2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM所在的平面内），设点A落在平面BCNM内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y．
①用含x的代数式表示y，并写出x的取值范围．
②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？

Answer 1

分析：（1）本题需先根据已知条件求出△AMN∽△ABC，再根据面积比等于相似比的平方的性质即可求出△AMN的面积．
（2）本题需先根据已知条件分两种情况进行讨论，当点A′落在四边形BCMN内或BC边上时和当点A′在四边形BCMN外时进行讨论，第一种情况很容易求出，第二种情况进行画图，连接AA′与MN交于点G与BC交于点F，再根据面积比等于相似比的平方的性质求出即可．再根据求出的式子，即可求出重叠部分的面积y的最大值来．

解答：解：（1）∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴

S△AMN

S△ABC

=

MN2

BC2

，
∴

S△AMN

25

=

x2

102

，
∴S_△AMN=

1

4

x2；

（2）①
当点A′落在四边形BCMN内或BC边上时，0＜x≤5，
△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为就是△A′MN的面积，
则此时y=S_△A′MN⁼S_△AMN=

1

4

x2（0＜x≤5）
当点A′落在四边形BCMN外时，5＜x＜10，
△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积就是梯形MNED的面积，
连接AA′，与MN交于点G，与BC交于点F，
∵MN∥BC，
∴

AG

AF

=

MN

BC

，
∴

AG

5

=

x

10

，
∴AG=

1

2

x，
∴AA′=2AG=x，
∴A′F=x-5，
∴

S△A′DE

S△A′MN

=（

A′F

A′G

）²，
∴

SA′DE

1 4 x2

=

(x-5)2

( 1 2 x)2

，
∴S_△A′DE=x²-10x+25，
∴此时y=

1

4

x2-（x²-10x+25），
=-

3

4

x²+10x-25（5＜x＜10），
②当x=

20

3

时，y最大，最大值为y_最大=

25

3

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在解题时要注意性质和判定的应用．