Question

14．已知，△ABC是等腰三角形，AB=AC．
（1）当AD=AE，∠DAE=∠BAC时，
①特殊情形：如图①，若点D、E分别在边AB、AC上，则DB=EC．（填“＞”、“＜”或“=”）．
②发现探究：如图②，若将图①中的△ADE绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，①中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（2）拓展运用：如图③，点P在△ABC内部，∠BAC=90°，且PA=2，PB=1，PC=3，则∠APB的大小为135度．

Answer 1

分析 （1）①由DE∥BC，得到 $\frac{DB}{AB}$=$\frac{EC}{AC}$，结合AB=AC，得到DB=EC；②由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；
（2）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，在简单计算即可．

解答 解：（1）①∵DE∥BC，
∴$\frac{DB}{AB}$=$\frac{EC}{AC}$，
∵AB=AC，
∴DB=EC，
故答案为：=，

②成立．
证明：由①易知AD=AE，
∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中
 $\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAB=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△DAB≌△EAC，
∴DB=CE，

（2）如图，

将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，
∴△CPB≌△CEA，
∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，
∴∠CEP=∠CPE=45°，
在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2 $\sqrt{2}$，
在△PEA中，PE²=（2 $\sqrt{2}$）²=8，AE²=1²=1，PA²=3²=9，
∵PE²+AE²=AP²，
∴△PEA是直角三角形
∴∠PEA=90°，
∴∠CEA=135°，
又∵△CPB≌△CEA
∴∠BPC=∠CEA=135°．
故答案为135°．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点．