Question

4．求出将直线y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{7}{3}$绕点A（2，1）顺时针旋转45度得到的直线表达式．

Answer 1

分析 作辅助线，构建直角三角形，设EH=a，EG=b，证明△AHE∽△BGE，列比例式得①式，在Rt△AEH中，根据勾股定理列②式，两式组成方程组解出可求得点E的坐标，与点A的坐标可求得旋转后的直线的解析式．

解答 解：设旋转后的直线交y轴于E，交x轴于D，
过A作AH⊥y轴于H，过B作BG⊥AB，交直线DE于G，
过G作GF⊥y轴于F，
由题意得：∠BAE=45°，A（2，1），
∴AH=2，OH=1，
直线AB的解析式为：y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{7}{3}$，
当x=0时，y=$\frac{7}{3}$，
∴BH=OB-OH=$\frac{7}{3}$-1=$\frac{4}{3}$，
∵∠BAG=45°，∠ABG=90°，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴AB=BG，
∵∠AHB=∠BFG=90°，∠ABH=∠BGF，
∴△AHB≌△BFG，
∴GF=BH=$\frac{4}{3}$，BF=AH=2，
∴G（$\frac{4}{3}$，$\frac{13}{3}$），
设直线AG的解析式为：y=kx+b，
把G（$\frac{4}{3}$，$\frac{13}{3}$），A（2，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}k+b=\frac{13}{3}}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-5}\\{b=11}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为：y=-5x+11，
即所求的直线表达式为：y=-5x+11．

点评 本题考查了一次函数的旋转问题，有一定的难度，本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、相似三角形的判定，勾股定理等知识，巧妙地利用相似和勾股定理列等式组成方程组解决此题．