Question

38、如图所示，?ABCD中，M，N，P，Q分别为AB，BC，CD，DA上的点，且AM=BN=CP=DQ．
求证：四边形MNPQ为平行四边形．

Answer 1

分析：根据平行四边形的性质知，AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D，利用等量减等量还是等量，得到BM=DP，AQ=CN．从而证得△AMQ≌△CPN，△BMN≌△DPQ，所以MQ=PN，MN=PQ．

解答：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D．
∵AM=BN=CP=DQ，
∴AB-AM=CD-CP，AD-DQ=BC-BN，
即BM=DP，AQ=CN．
在△AMQ和△CPN中，AM=CP，∠A=∠C，
AQ=CN，∴△AMQ≌△CPN（SAS），MQ=PN，
同理可证：△BMN≌△DPQ，∴MN=PQ，
故四边形MNPQ是平行四边形．

点评：本题利用了平行四边形的性质和判定及全等三角形的判定和性质求解．