Question

17．△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，将△AHC绕点H逆时针旋转90°后，点C的对应点为点D，直线BD与直线AC交于点E，连接EH．
（1）如图1，当∠BAC为锐角时，
①求证：BE⊥AC；
②求∠BEH的度数；
（2）当∠BAC为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC，ED，EH之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）由AH⊥BC于点H，∠ABC=45°，得到△ABH为等腰直角三角形，所以AH=BH，∠BAH=45°，由旋转性质得到△BHD≌△AHC，得到∠1=∠2，根据∠1+∠C=90°，得到∠2+∠C=90°，所以∠BEC=90°，即BE⊥AC，②由四点共圆即可得到结论；
（2）过H作HF⊥EH交CE于F，由旋转的性质得：∠D=∠C，HD=CH，∠CHD=90°，证出三角形全等，得到CF=DE，HF=EH，即可得到结论．

解答 （1）①证明：∵AH⊥BC于点H，∠ABC=45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴AH=BH，∠BAH=45°，
∴△AHC绕点H逆时针旋转90°得△BHD，
由旋转性质得，△BHD≌△AHC，
∴∠1=∠2．                                 
∵∠1+∠C=90°，
∴∠2+∠C=90°，
∴∠BEC=90°，即BE⊥AC．                    
②如图1，
∵∠AHB=∠AEB=90°，
∴A，B，H，E四点均在以AB为直径的圆上，
∴∠BEH=∠BAH=45°，

（2）解：补全图2，如图2；                                 
EC-ED=$\sqrt{2}$EH，
过H作HF⊥EH交CE于F，
由旋转的性质得：∠D=∠C，HD=CH，∠CHD=90°，
∴∠EHD=∠CHF，
在△DEH与△CFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠C}\\{DH=CH}\\{∠EHD=∠FHC}\end{array}\right.$，
∴△DEH≌△CFH，
∴CF=DE，HF=EH，
∴EF=$\sqrt{2}$EH，
∴CE-EF=CE-$\sqrt{2}$EH=CF=DE，
∴EC-ED=$\sqrt{2}$EH．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，正确的画出图形是解题的关键．