Question

如图，⊙O内切于Rt△ABC，∠C=Rt∠，D、E、F是切点，若∠BOC=105°，AB=4cm，则∠OBC=

 

，∠BAC=

 

，BC=

 

cm，AC=

 

cm，内切圆半径r=

 

cm．

Answer 1

分析：首先连接OF．根据角平分线的性质，可知∠BCO=∠OCA=45°，再多次利用直角三角形两直角边所对的角互余、角间的关系，求得∠OBC、∠BAC的度数．进而根据直角三角形中边角间的关系，求得BC、AC的长．利用直角三角形内切圆半径r=

AC•BC

AB+AC+BC

求得r的值．

解答：解：连接OF，
根据角平分线的性质，可知∠BCO=∠OCA=45°，
∴∠FOC=90°-∠BCO=90°-45°=45°，
∴∠BOF=∠BOC-∠FOC=105°-45°=60°，
在Rt△BFO中，∠FBO=90°-∠BOF=30°，
∴∠ABC=2∠FBO=60°，
∴∠A=90°-∠ABC=30°，
∵AB=4，
∴BC=AB•sin∠A=4×

1

2

=2，
AC=AB•cos∠A=4×

3

2

=2

3

，
内切圆半径r=

AC•BC

AB+AC+BC

=

2×2 3

4+2 3 +2

=

3

-1．
故答案为：30°，30°，2，2

3

，

3

-1．

点评：本题考查三角形内切圆半径与内心．做好本题的关键是添加辅助线FO，建立起各角间的关系．