Question

（2012•湖北模拟）圆O半径为2，圆O内的点P到圆心O的距离为1，过点P的弦AB与劣弧AB组成一个弓形．此弓形面积的最小值为

4π

3

-

3

．

Answer 1

分析：当过P的弦与OP垂直时，圆心到弦的距离最大，根据勾股定理及垂径定理得到弦长最短，即此时弓形的面积最小，由OP与AB垂直得到三角形APO为直角三角形，根据直角边OP等于斜边OA的一半，得到∠OAP=30°，同理可得出∠OBP=30°，利用三角形内角和定理求出∠AOB的度数，同时由OA及OP的长，利用勾股定理求出AP的长，再由OP垂直于AB，根据垂径定理得到AB=2AP，进而求出AB的长，然后由扇形AOB的面积减去三角形AOB的面积，即可求出弓形AB的面积，即为所求弓形面积的最小值．

解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

由图形得到弦AB⊥OP时，弓形AB面积最小，
∵AB⊥OP，
∴∠APO=90°，
∵在直角三角形AOP中，OA=2，OP=1，
∴∠OAP=30°，AP=

OA2-OP2

=

3

，
又∵OP⊥AB，
∴AB=2AP=2

3

，
同理∠OBP=30°，
∴∠AOB=120°，
则S_弓形AB=S_扇形AOB-S_△AOB=

120π•22

360

-

1

2

×2

3

×1=

4π

3

-

3

．
故答案为：

4π

3

-

3

点评：此题考查了扇形面积的计算，涉及的知识有垂径定理，勾股定理，含30°角直角三角形的性质，扇形的面积公式，以及三角形的面积公式，其中根据题意得出当过P的弦与OP垂直时弓形的面积最小是解本题的关键．