Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，若m-n=-2，m•n=3．
（1）求抛物线的表达式及P点的坐标；
（2）求△ACP的面积S_△ACP．

Answer 1

（1）设抛物线的表达式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线过C（0，3），
∴c=3，
又∵抛物线与x轴交于A（m，0）、B（n，0）两点，
∴m、n为一元二次方程ax²+bx+3=0的解，
∴m+n=-

b

a

，mn=

3

a

，
由已知m-n=-2，m•n=3，
∴解之得a=1，b=-4；m=1，n=3，
∴抛物线的表达式为y=x²-4x+3，P点的坐标是（2，-1）

（2）由（1）知，抛物线的顶点P（2，-1），
设直线CP的解析式为y=kx+3，则有：
2k+3=-1，k=-2
∴直线CP的解析式为y=-2x+3．
设直线CP与x轴的交点为D，则有D（

3

2

，0）
∴AD=

3

2

-1=

1

2

∴S_△ACP=S_△ACD+S_△APD=

1

2

×3×

1

2

+

1

2

×1×

1

2

=1．