Question

12．一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8，BC=6，现将三角形纸片对折，使A落在BC边上，且要求折后的重合部分与原来的△ABC相似，折痕分别交AC，AB于D、E，求折痕DE长？

Answer 1

分析 ①如图1，当DE∥BC时，则A落在点C上，根据三角形的中位线的性质即可得到结论；②如图2，当DE在AB的垂直平分线上，A点落在B上，由勾股定理即可求得DE=$\frac{15}{4}$．

解答 解：分两种情况，①如图1，当DE∥BC时，则A落在点C上，
∴AD=CD，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=3，
②如图2，当DE在AB的垂直平分线上，A点落在B上，
连接BD，设CD=x，
∵△ADE≌△BDE，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=5，AD=BD，
设CD=x，则AD=BD=8-x，在Rt△BCD中，
BD²=CD²+BC²，即（8-x）²=x²+36，
解得，DC=$\frac{7}{4}$，AD=BD=8-$\frac{7}{4}$=$\frac{25}{4}$，
同理，在Rt△BDE中，
DE=$\sqrt{B{D}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{4}）^{2}-{5}^{2}}$=$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定，翻折的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出图形是解题的关键．